数字音频技术(第6版) 185

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　　58数字音频技术（第6版）
　　iF）推导出的多项式进行块数据的编码和解码。迦罗华域的命名是为卓越的数学天才
　　埃瓦里斯蒂·迦罗华（Evariste
　　正是他在20岁那场置他于死地的决斗前夜提出了这些概念，这些域由有限个具有特殊属性的元素构成。乘法或加法可以用来组合元素，两元素进行加法或乘法的结果总是该域中所包含的第三个元素。例如，当一个元素升为更高的幂次时，所得结果总是域中的另
　　素。这类域一般仅存在于元素的个数为素数或是某素数的幂时。此外，存在至少一个被称为本原元素（Primitive）的元素，其他所有元素均可以表示为这个本原元素的某个幂次
　　对于纠错来说，迦罗华域能生成一种高度结构化的编码，这最终简化了编码的实现。在里德一所罗门编码中，数据被编组成符号，这些符号是编码所使用的迦罗华域中的成员，因此，里德-所罗门编码是非二进制BCH编码。对于指定的输入和输出块长度，它们能实现最大可能的最小距离。这个最小距离-即序列各不相同的非二进制符号的数量，由下式给出d=n-k+1。迦罗华域的大小决定了编码中符号的个数，它是以一个符号所包含的比特数为基础的，通常使用8bit符号。因此编码包含28-1或符号。在GF（2）系统中常用的
　　本原多项式为8+x4+x2+x2
　　里德-所罗门编码使用了多个多项式，这些多项式有多个根能够定位多个错误
　　并提供多个校正子来纠正这些错误。例如，里德一所罗门编码可以使用输入字生成两个校验多项式P和Q。P校验可以是各个符号的模2和。Q校验可以是每个输入字乘以GF本原元素的一个不同的幂次。如果一个符号出错，则P校验将给出一个非零的校正子S1。Q校验将产生一个校正子S2，其值为S2的一个幂次-具体的值取决于错误的位置。通过检查S S2之间的关系，里德-所罗门编码就能确定那个错误的位置。当某个位置的符号出错时将等于S1乘以本原元素按那个位置升高的幂。把S1加到所指出的位置上就可以实现纠错。
　　这一纠错过程可以在下例中看到。作为另外一种选择，如果已经通过检错指针知道两个错误的位置，那么输入中的这两个错误也是可以得到纠正的。例果第二和第三个符号被标
　　出，那么S1是这两个错误的模2和，S2是这两个错误分别乘以本原元素的二次幂和三次幂之的和。
　　为了说明里德-所罗门编码的运算，考虑一个由3bit符号构成的编码。在该码中
　　是本原元素，它是下述方程的解
　　F（x）
　　因此可以写出一个不可约多项式
　　a3+a+1=0
　　其中+表示模2加法。各个元素可以用普通多项式表