电子音乐技术 59

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　　音频与控制计算
　　3.1采样定理
　　到目前为止，我们讨论的数字音频信号仿佛可以描述任意的时间函数，只要知道它们在各个整数上的值就能以某种方式确定其在各个整数之间的值，这并非真的正确。例如，假设函数f（定义在实数域上）恰好在所有整数上都取1，即：
　　f（n）=1，n=.....，-1，0，1....
　　我们可能会猜测对于所有的实数t都有f（f）=1。但可能f仅仅是恰好对于所有整数取1，而在其他任何地方都为0--这也是一个完全没问题的函数，而且该函数在所有整数上的取值与简单的f（t）=1没有任何区别。但直觉告诉我们，这个常数函数应该是数字音频信号的实质，而那个在样点之间藏着秘密的函数则不是。一个"可以被采样"的函数应该可以用某种合理的内插方案从各个整数位置上的取值推演出它在非整数处的数值。
　　在这一点上，在计算机音乐的讨论中习惯上会运用著名的奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）。该定理指出（粗略地说）：如果一个函数是由有限个甚或是无限个正弦函数组合合成，而且没有任何一个正弦的角频率超过x，那么至少在理论上该函数完全可以由它在各个整数处的取值决定。重建该函数的一种可能方法就是使用阶数越来越高的多项式内插的极限形式。
　　角频率n被称为奈奎斯特频率（Nyquist Frequency），如果R是采样频率的话，那么该角频率对应的是每秒R/2个周期。与此对应的周期是2个样点。若对于任意一个频率高于奈奎斯特频率的正弦，都能找到一个频率低于奈奎斯特频率的正弦，使两者在所有整数上的取值都相等，那么在这种意义上奈奎斯特频率就是我们能达到的最佳程度，而且低于奈奎斯特频率的那些正弦是能够通过理想内插过程重建的。例如，一个正弦的角频率在x到2元之间，比