电子音乐技术 60

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　　52第3章音频与控制计算
　　如说是π+a），那么对于所有整数n，它可以被写成：
　　cos（（x+0）n+g）=cos（（n+o）n+p-2mn）
　　=coS（（@一元）n+p）
　　=cos（（x-w）n-p）
　　（如果n不是整数，那么第一步就不成立。）因此一个频率在n到2m之间的正弦至少在所有整数上的取值等于一个频率在0到π之间的正弦；你完全无法对两者进行区分。而且，由于任何转换器硬件都应该做"正确"的事情并对较低频率的正弦进行重建，因此你试图合成的任何一个较高频率的正弦都会以一个错误的频率呈现在音箱中--具体地，较高频率的正弦会以上述方式落回到0至π之间，从而产生一个独特的频率让你听到。这种现象被称为折叠（foldover），因为从0到o的正半轴频率以n为长度被反复折叠，最终都折叠到0到π区间，术语混叠（Aliasing）指的是同一件事。图3.1所示的两个正弦就是无法相互区分的数字音频信号，两者的角频率分别为x/2和3m/2。
　　AMIAA
　　图3.1两个实正弦函数，角频率分别为π/2和3元/2。从图中可以看出两者在各个整数上的取值是完全一样的。在一个数字音频信号上是无法区分这两个正弦的我们可以得出结论：在计算一个傅里叶级数（第10页）的值的时候，不管是作为一个波表还是作为一个实时信号，最好是路去求和中任何频率超过n的正弦。但对于一般情况来说并非这么简单，因为加性合成之外的大多数方法都不会产生这种简洁的带宽受限信号（即频率成分不会超过某一限定频率）。例如，若把Pd中的phasor~对象产生的一个频率为ao的锯齿波看成是一个连续函数f（t），那么可以将其展开成：
　　f（）=1-1（sin（or）+ sin（2af）sin（3a）......
　　上式可以扩展至任意高的频率；而且，第100次谐波要比第一次谐波弱40dB。除了非常低的o以外，在任何频率处，高于x的谐波都会被可闻地呈现出来--并且由于折叠的原因，它们将被听成是出现在错误的频率上。（这并不意味着不应该使用锯齿波作为相位发生器-波表查找的步进台阶能魔术般地纠正锯齿波的折叠--但在把锯齿波作为一个数字声音源使用之前需要重新考虑。）
　　很多合成方法一-即使没有严格地进行带宽限制--给出的谐波的衰落速度可能比锯齿波中呈现出来的1/n快得多，因此在使用数字方式进行工作方面有更大的宽容度。紧记折叠的可能性并训练自己的耳朵去识别它，这在任何情况下都是个好主意。