电子音乐技术 203

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　　8.3设计滤波器197
　　8.3.8巴特沃思带通滤波器
　　我们可以运用变换R（Z）=-22把巴特沃思滤波器转换成一个中心频率为x/2的高质量带通滤波器。随后还可以进行更进一步的变换，将中心频率平移至0到x之间的任意所需值ao处。该变换将为如下形式
　　S（Z）=9Z+b
　　Z+a
　　其中a和b都是非零实数。这是我们给出的"单位圆保持"有理函数通式的一种特殊情况。我们有S（1）=1和S（-1）=-1，并且单位圆的上半部和下半部被对称地变换了（如果Z变为W，那么乏就变为）。定性地说，变换S的效果是把单位圆上的点向1或-1挤压。
　　特别地，对于给定的中心频率，我们希望选取一个S使得：
　　S（cos（a）+isin（w））=i
　　若我们如前文一样令R=-Z2，并令H为一个巴特沃思低通滤波器的转移函数，则以H（R（S（Z）））为转移函数的复合滤波器将是一个中心频率为o的低通滤波器。解出a和a=cos（一一号），b=sin（--s）
　　这个新转移函数H（R（S（Z））将有2n个极点和2n个零点（n为巴特沃思滤波器H的次数）。
　　知道转移函数当然好，但若能知道新滤波器的所有极点和零点的位置就更好了，我们需要能用基本滤波器来计算零极点。如果Z是转移函数J（Z）=H（R（S（Z））的一个极点，那么，若J（Z）=o，则R（S（Z））必然是H的一个极点。对零点也是一样。为了找到J的一个极点或零点，我们令R（S（Z））=W，这里W是H的一个极点或零点，然后解出Z。即：
　　【az+brw
　　Lbz+a
　　aZ+b=上、层w
　　bZ+a
　　，taV-W-b
　　TbV-W+a
　　（这里a和b如土文中给出的那样，并且我们使用了a2+b2=1这一事实。）图8.20给出了J的零极点图和频率响应的一个例子。