电子音乐技术 43

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　　2.4音色拉伸35
　　记为：
　　xs0【n】=b0+h cos（on+4）+b2 cos（2awm+2）+...
　　则用傅里叶级数替换xioo【2n】表达式中的3项，得：
　　ao+a cos（2on+A）+a2 cos（4aon+a）+......
　　=bo+bh cos（on +6）+b2 cos（2on +2）+...+bo+b cos（an+x+6）+b2 cos（2on+2n+2）+...
　　=2b0+2b2cos（2on +B，）+2b4 cos（4on +1）+...
　　并且
　　ao=2bo，a1=2b2a2=2b4
　　依此类推：至少xo的偶次分音可通过把xi00的分音拉伸至2倍而获得。（我们不知道x0奇次分音的情况，它们可能与偶次分音一致，也可能不一致，这取决于一些我们仍旧无法控制的因素。目前我们至少可以说，如果波形在水平轴的两端是平滑连接的，那么奇次分音在总体上将与偶次分音的行为一致，这就足够了。要想更精确地搞清情况需要进行傅里叶分析，我们将在第9章中讨论这个问题。）
　　类似地，xi0o与x200以完全一样的方式联系在一起：
　　x20【2n】=x0o【n】+xio n+5因此，如果用co，G.表示x2nm的傅里叶级数中的各个幅度，那么Co=2d0，G=22，C2=2a4...
　　因此x200的各个分音就是把x0g的相应分音向左收缩一半。
　　我们看到，对波形进行2倍挤压会让傅里叶级数的输出出现2倍拉伸，相反，对波形进行2倍拉伸会让傅里叶级数的输出出现2倍挤压。同理可证，一般情况下，以任意一个整数f为系数对波形进行拉伸会在频率上以倒数1/f对各个分音进行挤压--至少大致上如此，并且如果波形在其末端"行为良好"的话，这种近似还是相当好的。（在后文中可以看到，总可以通过如图2.7所示的包络处理让波形的行为至少是合理的。）图2.10所示为图2.9中3个波形--或者说，是一种波形在3种不同占空因数下--的频谱。通过在绘制各条曲线时让其相互穿越，该图强调了3种频谱之间的相互关系，通过观察可以看出，这3条曲线其实是同一条曲线，只不过是以不同的方式被拉伸了，随着占空因数的提高，曲线被向左压缩（各个频率都在下降），同时被放大（向上拉伸）。
　　对于这些连续的曲线可以进行非常简单的解释。假设把波形挤压到一个非常小的占空因数，比如说1%。此时轮廓线将以系数100被拉伸。反过来操作，则能够在100%占空因数的？
　　轮廓线（原始的那个）中的每一对相邻点之间插入99个新点。在图中，50%占空因数的轨迹所定义曲线的分辨率是原始曲线分辨率的2倍。在极限情况下，当占空因数变成任意小时，