电子音乐技术 45

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　　2.5内插37
　　函数是一个正弦波（第1页）。随后我们可以通过对多个正弦进行叠加（求和）来了解在其他波表上发生的情况。
　　在包含正弦的波表中进行查找的准确程度取决于两个因素：内插方案的质量和正弦的周期。一般来说，正弦的周期越长，输出结果就越准确。
　　对一个合成波表来说，我们可以知道其各个正弦成分，因为我们可以具体指定它们。在这种情况下，问题就变成了在计算波表时选择一个合适的波表尺寸，从而与内插算法相匹配并达到所需的准确程度。对录制的声音来说，准确的分析可以指导我们在开始录制时或是日后重采样时调整录音的采样速率。
　　正弦波表的内插误差可包含2个组成部分：首先，这个连续信号（在时间上连续读取波表的理论结果，相当于输出的采样速率为无穷大）本身可能就不是一个纯正弦；其次，它的幅度可能是错的（也可能相位是错的，但只有在粗心疏忽时才会这样）。
　　在这种处理中，我们只考虑多项式内插方案，比如取整、线性内插和3次内插。这些方案实际上是计算多项式（分别为0次、1次和3次）在波表样点之间的那些空隙处的取值。
　　其思想是对于任意索引值x，选择其附近的一个参考点xn，然后让输出为某一多项式的计算结果：
　　yvr（x）=a0 +ai（x-x0）+a?（x-x0）2+...+an（x-xo）"通常我们会选择经过波表中n+1个最近样点的多项式。对于单点内插（0次多项式）来说，这意味着让an等于最近的波表样点。对于2点内插，我们会在波表中位于所需点x两侧的样点之间画一条线段。我们让xn为x左侧的最大整数（记为xl），则线性内插的公式yvr（x）=y【x0】+（【xo+1】-y【xo】）·（x-xo）
　　它是一个多项式，与前面的公式一致，只不过a0=y【xo】
　　1=y【xo+1】-【xo】
　　一般来说，可以让一个n-1次多项式与任意n个样点精确拟合，只要这些样点的数值各不相同即可。
　　图2.11所示为使用线性（两点）内插填充一个周期为6的正弦的效果。上图中有3条轨迹：原始正弦，对每个周期使用6个样点表示该正弦的波形进行线性内插以后的结果，最后是另外一个正弦，它的幅度略小一些，但它与那个6段波形能更好地匹配。由于使用线性内插版本替代原始正弦而引入的误差包含2个成分：首先是一个幅度上的变化似几乎感觉不到），其次是波形外形上的一个失真（非常容易感觉到）。
　　下图所示为内插后的波形与最佳拟合正弦之间的差。该残差信号的所有能量都位于原始正弦的各次谐波的位置上。随着样点数量的增加，误差的幅度也在降低。由于误差是正弦与