电子音乐技术 255

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　　10.3基本波形的傅里叶级数251
　　处理基本波形（抛物线波和/或锯齿波）的线性组合的最一般方法是回到复傅里叶级数，就如我们在求解基本波形本身的级数时所做的那样。但在这种特殊情形中，我们可以使用三角恒等式来避免额外的来回转换。首先我们带入实值的傅里叶级数：
　　x（al=No【cos（o（n-M））-cos（o（n+M））+
　　2r2（MN-2M
　　cos（2o（n-M））-cos（2o（n+M））..1现在利用恒等式
　　（6-a1；（a+b
　　cos（a）-cos（0）=2sin（-2-sin（2~
　　因此，例如
　　cos（o（n-M））-cos（o（n+M））=2sin（2mM/N）sin（on）（这里我们再次使用了定义0=2x/N。）这是一种简化，因为第一个正弦项是与n无关的；
　　它仅仅是一个幅度项。把恒等式应用到x【n】表达式中的所有项上，得：
　　x【n】=af【1】sin（on）+a【2】sin（2on）+...
　　其中各分量的幅度为：
　　sin（2xkM/N）
　　1
　　a【k】=
　　x-（M/N-2（M/N）2）k2
　　注意到这个结果并不取决于M和N各自的取值，而是取决于两者的比率M/N（这并不奇怪，因为波形的形状就取决于这个比率）。如果我们观察k值较小时，即：
　　11
　　K 　　则正弦函数的辐角小于x/2，并且使用近似公式sin（）*0以后我们发现，a【k】按1/k衰减，就像锯齿波中的各个分音一样。但对于较大的k值，正弦项在1和-1之间振荡，因此幅度将按1/k2非一致地衰减。
　　图10.8所示为把M/N设置为0.03时各分音的强度；这里，我们预计这种1/k相关性将延伸至k~1/（4-0.03）*8.5，大致与图中所示一致。
　　另一种可以观察为何"在较低的k值时分音应该按1/k运行，而其后应该按1/k2运行"的方法是，比较一个给定分音的周期和一个短时间段2M的长度。对于序号小于N/4M的分音，其周期至少应为这个段时间段长度的2倍，在这个尺度上，波形应该几乎无法与一个锯齿波相区分。对于序号超过N/2M的分音，三角波的2个拐点之间的间距至少有一个周期，并且在这些频率较高的地方，2个拐点（每个都具有1/f2的频率相关性）彼此之间是能够相互分辨的。在图中，位于17分音的凹槽出现在波长N/2M*1/17处，在这个波长上，2个拐点的间距为一个周期；因为2个拐点符号相反，因此两者将彼此对消。